Dispersão dos indicadores atuariais: o índice combinado e seus “n” valores por geração gaussiana.

Para quem acompanha aqui os meus artigos no Pulse, já deu para perceber que aprecio muito os métodos de simulação. Principalmente pelo fato da possibilidade de montar diversos cenários fruto de vários valores de uma mesma variável aleatória, dando assim, lugar ao entendimento melhor da volatilidade/dispersão que é necessário e importante para vários estudos.

Neste mais novo texto eu abordarei novamente simulação, agora dos indicadores atuariais da saúde suplementar que, no caso, já foram apresentados em um artigo anterior (publicado em 18/08/216), qual seja:

Obs: para ler basta clicar na figura.

Lá foram destacados em um nível de detalhamento maior: a sinistralidade, o percentual de despesas administrativas, o percentual de despesas de comercialização e o índice combinado. Este último possuindo a seguinte formulação:

O Índice Combinado pode ser também a soma entre DM + DA + DC, já que todos possuem um denominador comum, as contraprestações efetivas.

Entende-se por DM as Despesas Médicas ou mais conhecida com Sinistralidade, DA as Despesas Adminstrativas e DC as Despesas de Comercialização.

Sugestão!

Não continue lendo este texto sem antes ler o outro que postei acima, pois o seu entendimento depende da teoria inclusa nele, ok? 

Neste mesmo texto acima sugerido como leitura preliminar é abordado uma ideia de simulação por bootstrap do custo assistencial per capita com o objetivo de formar vários valores do Índice Combinado a fim de propor uma ideia de cálculo do capital que venha a compor uma das partes do Risco de Subscrição, mais especificamente para insuficiência de precificação.

Aqui iremos propor uma metodologia bem mais simples, mais precisamente uma geração de diversas Sinistralidades e consequentemente vários Índices Combinados por geração gaussiana com quatro tipos diferentes que podem ser escolhidos. Os demais indicadores que compõem o Índice Combinado serão fixos.

Importante salientar que esta modelagem de simular o Índice Combinado (da maneira que for) já nos foi apresentada por atuários de seguradoras através de suas práticas de cálculo de capital no ramo saúde. Portanto aqui não estamos criando nada, mas sim tentando adaptar o que já existe.    

A criatividade atuarial deve imperar e para esta modelagem vai em conformidade aos dados da operadora.

Portanto planta-se a semente aqui e seguimos na evolução.

Para finalizar esta contextualização inicial, informo que vou compartilhar conhecimento de forma completa. Assim, vou disponibilizar mais uma planilha de simulação para download com o código de VBA aberto para nossos estudos. 

O Simulador

Esta é a tela inicial da planilha da qual iremos detalhar a seguir.

Assim que a mesma é aberta, como de praxe, vai aparecer a mensagem de alerta abaixo, sempre prezando pela prudência.

1º Passo – Alimentar a base

Ao apertar no botão, você será direcionado a tela abaixo, que preferencialmente, deverá preencher as sinistralidades dos últimos 36 meses, a fim de se ter uma certa massa crítica de dados e conseguir extrair, de forma mínima possível, a dispersão via desvio padrão da série temporal que servirá inclusive de insumo para a geração.

2º Passo – Preencher os parâmetros de cálculo

Na tela principal você deverá preencher os parâmetros abaixo. Lembrando que o % Desp. Adm (% de Despesas Administrativas) e o % Desp. Com (% de Despesas de Comercialização) serão fixos. A Sinistralidade Máxima deverá ser preenchida também em conformidade ao ponto de equilíbrio desejado conforme foi mostrado no texto preliminar.

Ao preencher os dados de entrada acima, automaticamente o Índice Combinado Máximo será calculado:

Como já de nosso conhecimento, nada mais é do que a soma entre 80% + 12% + 1% = 93%. Vamos guardar esta informação e a Receita projetada para os próximos 12 meses, mais adiante as usaremos para o cálculo do capital.

Além do cálculo do índice Combinado Máximo, com base nas Sinistralidades preenchidas, calcula-se automaticamente a média e o desvio padrão do Índice Combinado determinístico que servirá de base para comparar com estas mesmas estatísticas descritivas dos Índices Combinados estocásticos e aferir a convergência da simulação (quanto menor a diferença, melhor). Como se pode verificar abaixo. 

3º Passo – Preencher os parâmetros da simulação

Aqui você deverá inserir o número de iterações da simulação (podendo ser até 1.000.000 se quiser e com tempo computacional relativamente rápido) bem como a metodologia de geração das sinistralidades conforme a Distribuição Normal (Gauss), quais sejam:

 TLC – Teorema do Limite Central

• zz = 0
  For j = 1 To 12
      zz = zz + Rnd()
  Next j
  Z = (zz – 6)

POLAR SENO

• R1 = Rnd()
  R2 = Rnd()
  Z = ((-2 * Log(R1)) ^ (1 / 2)) * Sin(2 * (Application.Pi()) * R2)
• onde Application.Pi() = 3,14…

POLAR COSSENO

• R1 = Rnd()
  R2 = Rnd()
  Z = ((-2 * Log(R1)) ^ (1 / 2)) * Cos(2 * (Application.Pi()) * R2)
• onde Application.Pi() = 3,14…

SCHMEISER

• R = Rnd()
  Z = ((R ^ 0.135) – ((1 – R) ^ (0.135))) / 0.1975

A metodologia calcula:

Índice Combinado = (Média da Sinistralidade + Z x Desvio Padrão da Sinistralidade) + % Desp. Adm + % Desp. Comer. 

A Média e o Desvio Padrão da Sinistralidade, bem como o % Desp. Adm + % Desp. Comer. são fornecidos. Portanto, os algoritmos acima calculam fundamentalmente o “Z” randômico de Gauss para cada iteração. 

Observação: se for gerado algum “Z” negativo, o algoritmo desconsidera e substitui a Sinistralidade output pela Sinistralidade média da serie temporal determinística. Trucamento este para manter um mínimo de conservadorismo.

Sobre estas quatro metodologias inclusive já elaborei uma outra planilha que testa qual delas tem melhor precisão em conformidade a um teste qui-quadrado, que pode ser visto em outro texto meu: Simulação de Monte Carlo – uma viagem ao fantástico mundo dos números aleatórios que todo atuário da área da saúde suplementar deveria conhecer.

4º Passo – Índices Combinados Estocásticos

Ao término da simulação você possui a opção de verificar todos os índices gerados. Basta apertar o botão abaixo:

No gráfico abaixo, constam os 10 mil Índices Combinados de forma desordenada. A linha vermelha representa a média do Índice Combinado determinístico.

Vejam a dispersão repleta de outliers:

Já no gráfico abaixo, constam os 10 mil Índices Combinados de form ordenada. A linha vermelha, novamente, como já se sabe, representa a média do Índice Combinado determinístico

Vejam como os valores inferiores e superiores gerados são distantes.

Entretanto mesmo com esta distância, podemos imaginar que esta geração gaussiana não considera em sua totalidade os valores extremos como input, mas vejamos: para esta 10.000 iterações o Índice Combinado máximo da série temporal resultou em 153,45%, enquanto que os máximo do vetor estocástico foi de 162,66%, ou seja, houve um stress de certa forma considerável. 

5º Passo – Índices Combinados Estocásticos e sua Distribuição de Probabilidades

Ao término da simulação, além das informações do 4º passo acima, você possui a opção de enxergar a distribuição de probabilidades de todos os Índices Combinados gerados. Basta apertar o botão abaixo.

O gráfico abaixo representa os 10 mil Índices Combinados estocásticos histogramados em 100 blocos. 

6º Passo – Cálculo do Capital Baseado em Risco

Aqui, você poderá visualizar os possíveis valores em conformidade ao apetite de risco da Operadora, condicionados ao Nível de Confianças (percentil) escolhido. Aqui, poderão ser enxergados tanto o VaR quanto o TVaR (sugestão de leitura: VaR vs ES – A pictorial representation), ou seja, o valor em risco e a média dos valores em risco do percentil escolhido até o final da cauda da distribuição, respectivamente. A diferença entre esses valores e o Índice Combinado Máximo do 2º passo multiplicado pela Receita Projetada para os próximos 12 meses nos fornece um possível valor de ajuste que serve como um capital que sustentaria a dispersão do Índice Combinado e tudo a mais que foi discorrido neste artigo.

Sua formulação:

• Capital de Insuficiência de Precificação VaR

= Receita Projetada x (Índice Combinado VaR (percentil escolhido) – Índice Combinado Máximo). 

• Capital de Insuficiência de Precificação TVaR

= Receita Projetada x (Índice Combinado TVaR (percentil escolhido) – Índice Combinado Máximo).

Em relação aos tempos médios da geração, vai depender muito da configuração do seu computador, de qualquer forma segue abaixo um quadro resumo:

Download da Planilha

Se por acaso não conseguir baixar a planilha e/ou encontrou algum erro e/ou ficou com dúvidas, mande-me um e-mail: nazareno_junior@hotmail.com

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Esta modelagem configura-se como uma sugestão introdutória e bastante simplória. Outras metodologias de cálculo deverão ser testadas e aprimoradas, sem esquecer a necessidade de evolução das mesmas. A ideia aqui é apenas plantar a semente mais uma vez.

Por fim, mais uma vez, quero intensificar a ideia da utilização de modelos estocásticos na saúde suplementar, pois não podemos ter a pretensão de achar que estamos 100% certos de que um único valor determinístico será a melhor estimativa já que o Índice Combinado é afetado por diversos fatores, principalmente os referentes ao custo assistencial para o cálculo da Sinistralidade.

Quando estamos tratando de gestão de riscos e de um mercado altamente dinâmico, é interessante que esta tese venha a dar lugar aos estudos, incluindo, pelo menos, cenários. Nem que seja apenas para se ter uma ideia da volatilidade/dispersão para efeito, inclusive, de estudos futuros de solvência atrelados ao risco de subscrição.

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 Se interessou pelo assunto?

Então leia também este outro artigo: Uma sugestão introdutória de modelagem estocástica do CBR de subscrição para operadoras médico-hospitalares.

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Muito obrigado pela leitura! 

Estarei sempre à disposição. 

Vamos em frente…

Linkedin do professor Nazareno:https://www.linkedin.com/in/nazarenojr/

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